درس حول الإنحناء المستوي البسيط

إعداد الأستاذ المهندس: حاج صادوق عبد الحفيظ
الإنجاز التقني: مغني أحمد

مقدمة:
لأن الانحناء هو التأثير الذي تخضع إليه العوارض بكثرة و في جميع الميادين كالميكانيكا، البناءات و البناءات المعدنية، و يتسبب في تشوهاتها، يتطرق إليه المهندس و التقني المختص في هذه المجالات أثناء دراساتهم للمشاريع للقيام بالحسابات الضرورية من اختيار المواد و أشكال العوارض و الأبعاد و ذلك لضمان الظروف الآمنة لأداء الوظيفة.
الأهداف:
معرفة حساب الجهد القاطع.
معرفة حساب عزم الانحناء.
تمثل و استعمال المنحنى البياني للجهود القاطعة و عزوم الانحناء.
حساب إجهاد الانحناء الأقصى.
حساب أبعاد العارضة، و اختيار المادة المناسبة و شكل المقاطع القائمة بتحقيق شرط المقاومة...
حساب تشوه العارضة.
عناصر الدراسة:
تطرقنا في دراستنا هذه إلى الانحناء المستوي البسيط للعوارض المتجانسة المواد و ذات المقاطع العمودية الثابتة، المعرضة إلى قوى مركزة أو موزعة، وفق العناصر التالية:
I ـ عموميات
ـ تعريف
ـ فرضيات
ـ أنواع الارتكازات
IIـ الانحناء المستوي البسيط: قوى مركزة
ـ الجهد القاطع
ـ عزم الانحناء
ـ إجهاد الانحناء
ـ شرط المقاومة
ـ التشوه
ـ تطبيق
IIIـ الانحناء المستوي البسيط: قوى موزعة
ـ تعريف
ـ حمولة موزعة بانتظام
ـ مميزات الحمولة الموزعة
ـ تطبيق
IVـ حساب المقياس التناسبي ( الموديول ) لعجلة أسطوانية ذات أسنان قائمة
Vـ ملحقات

عموميات

1- تعريف:
تكون عارضة خاضعة لتأثير الانحناء، لما يكون تشوهها عبارة عن «حني» خطها المتوسط نتيجة للتأثيرات الخارجية المطبقة عليها.
بتبسيط هذه المؤثرات الخارجية في مقطع قائم ذي مركز ثقل (مر)، نتحصل على شعاعية متكونة من:
درس حول الإنحناء المستوي البسيط 001

: جهد قاطع، مماسي على المقاطع القائمة.
درس حول الإنحناء المستوي البسيط 002

: عزم انحناء

شكل1: تبسيط العناصر في مقطع قائم

2- فرضيــات :
في الانحناء المستوي البسيط نفرض ما يلي:
أ- نمثل الأجسام بعوارض موضوعة على إرتكازين أو مندمجة في أحد طرفيها.
ب- للعارضة مستوى تناظر.
ج- المؤثرات الخارجية مطبقة في مستوى تناظر العارضة و تكون عمودية على الخط المتوسط.

شكل 2: المقاطع العمودية للعارضة

د- تشوهات العارضة تكون مرنة و صغيرة مقارنة بأبعاد العارضة ( نظرية برنولي BERNOULLI).
هـ - المقاطع العمودية تكون و تبقى كذلك قبل و بعد التشوهات.

3- أنواع الارتكازات:
3-1 : ارتكاز بسيط:
الالتماس بين العارضة و الارتكاز يكون وفق مستقيم عمودي على مستوى تناظر .
يمنع الارتكاز البسيط حركة انتقال العارضة وفق المحور (أ ع).
نمثل تأثير الارتكاز (2) على العارضة (1) بقوة درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

عمودية على أب.

شكل 3: ارتكاز بسيط

3-2 : ارتكاز مفصلي:
و يدعى أيضا ارتكاز مزدوج، و يمثل في الواقع محور مفصلي عمودي على مستوى تناظر العارضة.
في حالة خضوع العارضة لقوة مائلة، يكون رد فعل الارتكاز درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

بمركبتين:

و

.
يمنع الارتكاز المفصلي الحركة وفق (أس) و ( أع).

شكل 4: ارتكاز مفصلي

3-3 : الاندمــاج:
يمنع الاندماج كل حركة نسبية بين القطع (1) و (2).
تمثل الاندماج بـ:
- قوة درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

و تكون عمودية على العارضة
- عزم اندماج درس حول الإنحناء المستوي البسيط 009

شكل 5: اندماج

ملاحظة:
في بداية دراسة الانحناء المستوي البسيط، ينبغي معرفة المؤثرات الخارجية المطبقة عليها و ذلك بتحديد ردود الأفعال في الارتكازات أو الاندماج حسابيا أو بيانيا.

الانحناء المستوي البسيط: قوى مركزة

4- الجهد القاطع:
بعد حساب كل المؤثرات الخارجية المطبقة على العارضة، بما في ذلك ردود الأفعال في المرتكزات أو الاندماج، نقوم بحساب الجهد القاطع م في مقطع قائم ذي مركز ثقل « مر» بفاصلة « س ».
يساوي الجهد القاطع الجمع الشعاعي للقوى الخارجية العمودية على الخط المتوسط و الواقعة في نفس الجهة (على يسار المقطع مثلا).

شكل 6: حساب الجهد القاطع في المقطع القائم ذي مركز ثقل مر

نسقط هذه المعادلة على المحور (أع):
م = - أ + ق1 - ق2 + ق3
5- عزم الانحناء:
يساوي عزم الانحناء في مقطع قائم ذي مركز ثقل مر، الجمع الهندسي لعزوم القوى الخارجية العمودية على الخط المتوسط بالنسبة لـ مر و الواقعة في نفس الاتجاه (على يسار المقطع مثل).
في المثال السابق:
درس حول الإنحناء المستوي البسيط 013

ملاحظة:
بإمكاننا كتابة و حساب الجهد القاطع بدلالة عزم الانحناء في نفس المقطع القائم، حيث:

6- إجهاد الانحناء:
في الانحناء المستوي البسيط، يكون الإجهاد «ناظمي» σ على المقاطع القائمة، و تهمل قيمة الإجهاد المماسي τ.
بيّنت التجارب المنجزة على العينات، بأن الإجهاد الناظمي للانحناء σ في نقطة ج، يكون متناسب مع المسافة ع الحاصلة بين هذه النقطة و الخط المتوسط.
كما لوحظ أثناء التجارب بأن للأشكال الهندسية و أبعاد العارضة في المقاطع القائمة تأثير في قيمة الإجهاد الناظمي σ، حيث:

σج : الإجهاد الناظمي للانحناء في النقطة ج [ن/ملم2].
عز نح : قيمة عزم الانحناء في المقطع القائم المدروس [ن . م].
عترص : العزم التربيعي للمقطع القائم بالنسبة للمحور (مر ص) [ملم4]. (ملحق1)
ع : المسافة من الخط المتوسط إلى النقطة ج [ملم].
ملاحظة:
1- في النقطة مر، ( ع = 0 )، يكون الجهاد معدوم، σمر = 0.
2- في النقاط المتساوية المسافة إلى الخط المتوسط، يكون الإجهاد الناظمي متساوي، σج = σجَ.
3- في النقطتين أ و ب يكون للإجهاد الناظمي للانحناء أقصى قيمة ، ( ع أقصى = ρ )

σأقصى = σأ = σب = ( عزنح / عترص ) . ρ

4- σأ = σب = عزنح / ( عترص / ρ )
تسمى القيمة (عترص / ρ) موديول الانحناء للمقطع القائم [ ملم3].
7- شرط المقاومة:
من أجل اشتغال العارضة في ظروف آمنة، ينبغي على الإجهاد الناظمي الأقصى للانحناء أن يكون أصغر من قيمة تدعى المقاومة العملية (مق ع) .

تحديد قيمة المقاومة العملية:
نحسب المقاومة العملية «مق ع» بدلالة المميزات الميكانيكية الخاصة بمادة العارضة: (ملحق3)

بحيث: مق م : مقاومة المرونة
مق أ : مقاومة الانكسار
a و aَ : معامل أمن.
تحديد القيمة القصوى لإجهاد الانحناء:
نحسب σأقصى في المقاطع القائمة الأكثر تحملا، أين تكون قيمة عزم الانحناء قصوى، و في أبعد نقطة من الخط المتوسط ( ع أقصى = ρ ).

8- التشوه:
في الانحناء المستوي البسيط يقاس تشوه الخط المتوسط بالسهم "ع"، حيث:

عََ : الاشتقاق الثاني ل ع = تا (س).
عز نح: قيمة عزم الانحناء في المقطع المدروس.
عترص : العزم التربيعي للمقطع.
E : معامل المرونة الطولية (أو موديول يونق - Module de YOUNG).

تطبيق:
يمثل الشكل التالي عارضة موضوعة ارتكازين بسيطين " أ " و " ب "، مهملة الثقل.
طول العارضة ل = 4 م و تتحمل قوة في النقطة " ج " ، ق = 3000 ن.
1 ـ لندرس الجهود القاطعة و عزوم الانحناء مع رسم منحنياتها البيانية.
2 ـ لنحسب قيمة σأقصى.
3 ـ احسب السهم عأقصى .

الحل
1- حساب ردود الأفعال في المرتكزات:
العارضة في حالة توازن.

شروط التوازن:

بإسقاط معادلة القوى على (أ ع):
أ – ق + ب = 0 ............... (1)
بإسقاط معادلة العزوم:
ق . ل/2 = ب . ل Ü ب = ق / 2 = 3000 / 2 = 1500 ن
من المعادلة (1):
أ = ق – ب = 3000 – 1500 = 1500 ن

2- دراسة الجهود القاطعة:
نجزء العارضة إلى منطقتين.
كل قوة واقعة على يسار المقطع القائم و اتجاهها إلى الأعلى تنتج جهد قاطع سالب.
المنطقة (أ ج):

0 ³ س ³ ل / 2:
لدينا: درس حول الإنحناء المستوي البسيط 025

بالإسقاط:
م1 = - أ = - 1500 ن

المنطقة (ج ب):

ل/2 ³ س ³ ل
درس حول الإنحناء المستوي البسيط 028

بالإسقاط:
م2 = - أ + ق
م2= -1500 + 3000 =1500 ن

3- دراسة عزوم الانحناء:
كل قوة واقعة على يسار المقطع القائم اتجاهها إلى الأعلى تنتج عزم انحناء موجب.
المنطقة (أ ج):
0 ³ س ³ ل / 2 :
عز نح1 = أ . س
لما س = 0 Ü عز نح1 = 0
لما س ل/2 = 2 م Ü عزنح1 = 1500×2 = 3000 ن.م
المنطقة (ج ب):
ل/2 ³ س ³ ل
عز نح2 = أ . س – ق . ( س – ل/2 )
لما س = ل/2 Ü عز نح2 = 1500×2 = 3000 ن.م
لما س = ل Ü عز نح2 = 1500×4 - 3000×2 = 0
3- المنحنيات البيانية:

4- حساب إجهاد الانحناء الأقصى:

sأقصى= ( عزنحأقصى / عتر ص ). r
عزنحأقصى = 3000 ن . م
r= 80/2 = 40 ملم
العارضة مقاطعها مستطيلة كما هو مبين على الشكل
عتر ص = (50×80 3)/12 = 2.13×10 6 ملم4
sأقصى= (3000× 10 3/ 2.13 × 10 6).40= 28.16 ن/ملم2

التحقق من شرط المقاومة:
مادة العارضة هي 355 S ، بمقاومة المرونة مق م = 355 ن / ملم2 ، و بمعامل أمن a = 5 ، نتحصل على :
مق ع = مق م / a = 355/5 = 71 ن/ ملم2
sأقصى = 28.16 ن/ ملم2> مق ع = 71 ن/ ملم2
العارضة تقاوم القوة المطبقة عليها.
5- حساب السهم ع أقصى:
نكتب معادلة السهم بدلالة " س" :
عََ = - عز نح / ( عتر ص . E )
المنطقة (أ ج):
عز نح = أ . س Ü عََ = ( أ . س ) / ( عتر ص . E )
عََ = - ( أ / ( عتر ص . E )) . س
نسمي القيمة : A = - ( أ / ( عتر ص . E ))
نتحصل على : عََ = A . س
بالتكامل نتحصل على: عَ = ( A س2 / 2 ) + B
و أيضا: ع = ( A س3 / 6 ) + B س + C ـ...............(1)
نحدد قيم المجهولين B و C :
لما س = 0 ، ع = 0 ( انعدام التشوه عند الارتكاز ) ، و من المعادلة ( 1 ) : C = 0
لما س=ل ، ع=0 Ü A ل3/ 6 + B ل=0 Ü B= - (A ل2)/6
Ü ع = ( A س3 /6 ) – ( A ل2 / 6 ) . س
و بالتعويض:

ملاحظة:
1- ع تبلغ قيمتها القصوى لما عَ = 0 ، أي لما س = ل/2

2- التشوه متناسب مباشرة مع القوى المطبقة و طول العارضة، لهذا ينبغي أخذ هذه العوامل بعين الاعتبار من أجل تحديد قيمة السهم "ع" و ذلك بمضاعفة حوامل أعمدة الآلات مثلا.
3- التشوه متناسب عكسيا مع معامل المرونة الطولية E و العزم التربيعي، و لهذا ينبغي اختيار عوارض بمقاطع مادتها تكون الأبعد ممكن من الخط المتوسط.

الانحناء المستوي البسيط: قوى موزعة

1- تعريف:
تكون حمولة موزعة على طول العارضة بشكل ث = تا(س) في المنطقة (دج) إذا كان لكل عنصر طويل بـ (Δ ل) حمولة تقدر بـ: Δث = ثﹶ Δل حيث: درس حول الإنحناء المستوي البسيط 039

1-1 حمولة موزعة باتنظام:
تكون الحمولة موزعة بانتظام على طول العارضة إذا كانت جميع أجزاءها (العارضة) تتحمل نفس الحمولة حيث : ث = ثﹶx ل.
ل: طول العارضة
ثَ: معدل التحميل (ثابت) و معبر عليه بـ:ن/ م ث: الحمولة الكلية

لحساب ردود الأفعال، نعوض الحمولة الموزعة بانتظام على طول العارضة بالمحصلة ث = ثَ x ل
1-2 مميزات الحمولة الموزعة:
- للحمولة الموزعة نفس الإسقاطات مع محصلتها
- للحمولة الموزعة نفس العزم بالنسبة لمحور عمودي مع محصلتها (نظرية VARIGNON)
ملاحظة:
لحساب الجهد القاطع في مقطع قائم ذي فاصلة س:
مس =∫ تا(س) . دس = ∫ ثﹶ . دس = ث . س
لحساب عزم الانحناء: (نظرية فارينون)
عز نحس = ثﹶ س . س/2 = (ثﹶ س2 )/2

تطبيق:
عارضة مستقيمة موضوعة على ارتكازين أ و ب محملة بانتظام

المعطيات:
E = 21x 410 ن/ملم 2
مق م = 240 ن / ملم 2
a = 1.5 (معامل امن)
ل = 4 م عتر ص = 10825 سم 4
= 23 سم
ρ
المطلوب:
1- احسب الحمولة الإجمالية و معامل التحميل ؟
2- احسب السهم الأقصى .

الحل

حساب ردود الأفعال:
بالإسقاط :
بتعويض المعادلة 2 في المعادلة 1 نجد:
أ = - ب + ثﹶ× ل = - (ثﹶ× ل)/2 + ثﹶ × ل
الجهد القاطع:
على المحور ( ع ) و بإسقاط نجد أن:
م[size=12]س = - أ + ثﹶ × س = - (ثﹶ × ل)/2 + ثﹶ × س. إذن:
مس = ثﹶ × س - (ثﹶ × ل)/2
لما س = 0
مس = - (ثﹶ × ل)/2
لما س = ل
مس = ثﹶ × ل - (ثﹶ × ل)/2 = (ثﹶ × ل)/2
مس = (ثﹶ × ل)/2
مس = 0 Ü ثﹶ × س - (ثﹶ × ل)/2 = 0
Ü س = ل/2
عزم الانحناء:
عز نحس = أ × س – (ثَ × س ) . س/2 = أ × س – (ثَ × س2 )/2
عز نحس = – (ثﹶ × س2 )/2 + (ثﹶ × ل)/2 × س
لما س = 0 فإن عز نحس = 0
ملاحظة:
تكون قيمة عزم الانحناء قصوى لما ( د عز نح ) / ( د س ) = 0
( د عز نح ) / ( د س ) = – (ثﹶ × س ) + (ثﹶ × ل)/2 = 0
Ü س = ل /2
إذن لما س = ل/2
مس = 0 و عزم الانحناء يكون أقصى
عز نحس = – (ثﹶ × س2 )/2 +(ثﹶ × ل)/2 × س
عز نحاقصى = – (ثﹶ × ل2)/8 +(ثﹶ × ل2)/4
= (ثﹶ × ل2)/8
= (ثﹶ × ل) × ل /8
= (ث × ل )/8
معادلة التشوه:
س = ل/2
حساب الحمولة:
شروط المقاومة:
σأقصى ³ مقع
(عز نحاقصى . ρ ) \ عترص³ مق م \ a
عز نحاقصى³ مقع عترص \ ρ
لدينا:
عز نحاقصى = (ث × ل )\8 = (ثﹶ × ل2 )\8 ³ مقع عترص \ ρ
ثﹶ ³ 8 مقع عترص / ( ρ a ل2 )
ت ع:
ثﹶ³ 375.043 ن/م
أي ث ³ ثﹶ × ل
ث ³ 375.043 × 4 × 10 3
ث ³ 1.5 × 10 6 ن
حساب التشوه الأقصى:
ع أقصى = 5 ثﹶ ل4 / 384 عترص E
ثﹶ= 375.043 ن/ ملم
ل= 4 × 10 3ملم
عترص = 107825 سم4 = 107525 ×10 4ملم4

ت ع : ع أقصى = 5.52 ملم

تطبيق: حساب موديول مسننات اسطوانية ذات أسنان قائمة

تطبق العجلة القائدة (1) قوة ق على العجلة المنقادة (2) على مستوى تلامس الأسنان، الواقع على الدوائر الأساسية للعجلتين.
للمسننات الاسطوانية ذات الأسنان القائمة المميزات التالية كما هو موضح على الشكل التالي:
زاوية الضغط : α = 20°
تاج السن :M = S = ha
جذر السن :1.25M = t = hf
الخطوة ( على الدائرة الأساسية ) : M . Π = p
سمك السن : e = p/2 = ( p M ) / 2
علو السن : 2.25 M = t + s = h
عرض السن :M . k = l = b حيث ( ) عادة k = 10
فرضيات:
1- نعتبر السن عارضة BA مندمجة وفق مستطيل L x H و خاضعة لقوة مماسية F
2- أثناء الدراسة يتم تعشيق زوج واحد من الأسنان
3- تعطى e=H
حساب الموديول بهذه الفرضيات يكون متقارب ، و باعتماد معامل امن كبير القيمة، نقترب أكثر من القيمة الحقيقية .
كما هو الحال بالنسبة للعوارض المندمجة (الطرف)، يكون لعزم الانحناء قيمة قصوى في الاندماج (في النقطة B).

شروط المقاومة:

إذن:

Ü
F : القوة المماسية.
نحسب الموديول بدلالة المزدوجة:
بعد الحساب نختار للمديول قيمة موحدة ضمن قيم الجدول التالي:
1.2510.80.60.5432.521.51210865 252016
ملحقـات
المراجع:
- la mécanique par les problèmes, résistance des matériaux
A.CAMPA , R.CHAPPERT , R.PICAND
- Mécanique , deuxième partie
RENE BASQUIN

[center]ملحق 2: الرموز و المصطلحات المستعملة
T
Effort tranchant
الجهد القاطع
م
Mf
Moment fléchissant
عزم الانحناء
عز نح
s
Contrainte de flexion
إجهاد الانحناء
s
Rp
Résistance pratique
المقاومة العملية
مق ع
Re
Résistance élastique
مقاومة المرونة
مق م
Rr
Résistance à la rupture
مقاومة الانكسار (الانقطاع)
مق أ
a
Coefficient de sécurité
معامل الأمن
a
E
Module d’élasticité longitudinale
معامل المرونة الطولية
E
y
Flèche
السهم
ع
Iz
Moment quadratique
العزم التربيعي
عترص
p
Taux de charge , charge unitaire
معامل الحمولة
ثَ
[/center]
[/size]